A filtering approach to remove finite-difference errors from wave equation simulations

Seismograms (i.e., recordings of seismic waves that propagate through the earth) can be used to uncover information about the earth's subsurface.Such investigations require accurate numerical wave simulations.One of the most common techniques to carry out these simulations is the finite-difference (FD) method.In the FD method, (1) derivatives are replaced with approximations of limited accuracy, and (2) continuous space and time are discretized into finite steps.The FD method is a fast numerical method, but it also introduces inaccuracies.In this thesis, we propose four procedures that reduce these inaccuracies.The overarching aim is to provide fast FD simulations (using large steps in space and time) while yielding accurate solutions.The first proposed method is the use of a filter pair: the forward and inverse time-dispersion transforms.These transforms must be applied before the simulation (to modify the source wavelet) and after the simulation (to modify the recorded seismic signals).They correct for the inaccuracy induced by the approximation of the temporal derivative in the wave equation.We show that the method applies to acoustic and elastic wave simulations.Furthermore, we show that the method applies to viscoelastic FD simulations if they use standard memory variables.The second proposed method is the use and design of 'optimal' FD operators.Such FD operators are highly accurate for a prescribed wavenumber range.We obtain these FD operators using the Remez exchange algorithm, a well-known algorithm in the field of filter design.Our work generalizes the existing literature drastically: (1) we consider arbitrary derivative orders, (2) we consider three cost-functions [the absolute error, the relative error, the group velocity error], (3) we consider arbitrary input locations, (4) we can compute solutions that are optimal in a least-squares or maximum norm sense.Optimal results in FD modeling are obtained with the FD operator designed for the relative error.The third proposed method concerns the implementation of point-sources in FD simulations.These sources are typically modeled by exciting the source on a single FD node.We show that such an implementation leads to wavenumber-varying amplitude errors.In effect, two artifacts are generated:(1) ringing is introduced, and (2) erroneous wave modes may be excited.We show how to correct for this error using a filter in the wavenumber domain.The 'FD-consistent' point-source that we propose minimizes these artifacts.The fourth proposed method concerns the use of interface representation schemes in wave simulations.For this, we compare five interface representations from geophysical literature.We find that, in acoustic simulations, optimal results are obtained with anti-aliasing of the fine velocity model.Conversely, in isotropic and anisotropic elastic simulations, optimal results are obtained with the Schoenberg & Muir (1989) calculus.The proposed methods have two attractive features: (1) they allow FD simulations with large steps in space and time, (2) they must only be applied before and after the simulation to improve the accuracy, Abstract iv and have a negligible computational cost.Hence, they allow for fast FD simulations with a minimal computational cost, while yielding excellent accuracy.v Zusammenfassung Seismogramme (d.h.Aufzeichnungen von seismischen Wellen, welche sich durch die Erde ausbreiteten) knnen verwendet werden, um Informationen ber den Untergrund der Erde aufzudecken.Solche Untersuchungen erfordern genaue numerische Wellensimulationen.Eine der gebruchlichsten Techniken zur Durchfhrung dieser Simulationen ist die Finite-Differenzen-Methode (FD-Methode).Bei der FD-Methode werden (1) Ableitungen durch Annherungen mit begrenzter Genauigkeit ersetzt und (2) kontinuierlicher Raum und kontinuierliche Zeit in endliche Schritte diskretisiert.Die FD-Methode ist zwar eine schnelle numerische Methode, jedoch auch ungenau.In dieser Arbeit untersuchen wir vier Methoden zur Verbesserung der Genauigkeit.Das bergeordnete Ziel ist schnelle FD-Simulationen (mit mglichst grossen rumlichen und zeitlichen Schritten) zu ermglichen und gleichzeitig mglichst genaue Lsungen zu erhalten.Zuerst prsentieren wir ein Verfahren, welches ein Filterpaar verwendet: die Vorwrts-und Inverse-Zeitdispersionstransformationen.Diese Transformationen mssen vor der Simulation (zur Modifizierung der seismischen Quelle) und nach der Simulation (zur Modifizierung der aufgezeichneten seismischen Signale) angewendet werden.Sie korrigieren die Ungenauigkeit, die durch die Approximation der zeitlichen Ableitung in der Wellengleichung verursacht wird.Wir zeigen, dass die Methode fr akustische und elastische Wellensimulationen anwendbar ist.Darber hinaus zeigen wir, dass die Methode auf viskoelastische FD-Simulationen anwendbar ist, wenn diese Standard-Speichervariablen verwenden.Die zweite vorgeschlagene Methode ist die Entwicklung und Verwendung von sogenannten 'optimalen' FD-Operatoren.Diese FD-Operatoren sind fr einen vorgeschriebenen Wellenzahlbereich sehr genau.Wir erhalten den erwnschten FD-Operator mit dem Remez-Austauschalgorithmus, einem bekannten Algorithmus aus dem Gebiet des Filterdesigns.Unsere Arbeit verallgemeinert die vorhandene Literatur drastisch: (1) wir betrachten willkrliche abgeleitete Ordnungen, (2) wir erlauben drei Kostenfunktionen [den absoluten Fehler, den relativen Fehler und den Fehler der Gruppengeschwindigkeit], (3) wir erlauben willkrliche Eingabeorte und (4) wir knnen Lsungen berechnen, die im Sinne der kleinsten Quadrate oder der maximalen Norm optimal sind.Optimale Ergebnisse bei der FD-Modellierung erhlt man mit dem FD-Operator, der fr den relativen Fehler ausgelegt ist.Die dritte vorgeschlagene Methode betrifft die Implementierung einer Punktquelle in FD-Simulationen.Solche Quellen werden typischerweise modelliert, indem