The all-time maximum for branching Brownian motion with absorption conditioned on long-time survival

Nous considérons un mouvement brownien branchant dans lequel il y a initialement une particule à x, les particules produisent un nombre aléatoire de descendants avec une moyenne de m+1 au moment des événements de ramification, et chaque particule branche au taux β=1/2m. Les particules se déplacent indépendamment selon des mouvements browniens avec une dérive de −1 et sont tuées à l’origine. Il est bien connu que ce processus finit par s’éteindre avec une probabilité positive. Nous conditionnons ce processus à survivre pendant un temps inhabituellement grand t et nous étudions le comportement du processus à de petits temps s≪t en utilisant une décomposition épinale. Nous montrons en particulier que le temps où une particule s’éloigne le plus de l’origine est de l’ordre de t5/6.