Stability of the logarithmic Sobolev inequality via the Föllmer process

On étudie les propriétés de stabilité et d’instabilité de l’inégalité de Sobolev logarithmique gaussienne, en termes de covariance, de distance de Wasserstein et d’information de Fisher, répondant à plusieurs questions ouvertes dans la littérature. On établit d’abord une forme améliorée de l’inégalité de Sobolev logarithmique qui est à la fois invariante par transformation linéaire et indépendante de la dimension. Comme corollaire, on obtient une inégalité de stabilité optimale et indépendante de la dimension pour les mesures dont la covariance est majorée par l’identité. On se penche ensuite sur la question de savoir dans quelle mesure le déficit dans l’inégalité de Sobolev logarithmique contrôle la covariance de la mesure. On montre notamment que si la covariance est majorée par l’identité, alors à covariance fixée, la mesure gaussienne minimise ce déficit. D’un autre côté on présente un contrexemple montrant que sans hypothèse de covariance bornée, l’inégalité est instable. Enfin, on étudie la question de la stabilité en termes de distance de Wasserstein, et on montre que même en se restreignant aux mesures dont la covariance est bornée, il n’est pas possible d’obtenir un résultat de stabilité qui soit indépendant de la dimension. Les contrexemples que nous exhibons suggèrent une nouvelle notion de stabilité, en terme de proximité de la mesure à un mélange de gaussiennes. On démontre plusieurs résultats dans cette direction, certains étant indépendants de la dimension. Ces résultats sont par ailleurs plus forts que certains résultats de stabilité qu’on trouve dans la littérature. Nos techniques de preuve reposent fortement sur des méthodes stochastiques.