<p>Let <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T Subscript upper N">
<mml:semantics>
<mml:msub>
<mml:mi>T</mml:mi>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">T_N</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> denote an <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N times upper N">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:mo>×<!-- × --></mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">N\times N</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> Toeplitz matrix with finite, <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N">
<mml:semantics>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> independent symbol <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold-italic a">
<mml:semantics>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="bold-italic">a</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbfit {a}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>. For <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript upper N">
<mml:semantics>
<mml:msub>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">E_N</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> a noise matrix satisfying mild assumptions (ensuring, in particular, that <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N Superscript negative 1 slash 2 Baseline double-vertical-bar upper E Subscript upper N Baseline double-vertical-bar Subscript normal upper H normal upper S Baseline right-arrow Subscript upper N right-arrow normal infinity Baseline 0">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:msup>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo>/</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="normal">H</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">S</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">{N^{-1/2}\|E_N\|_{{\mathrm {HS}}}}\to _{N\to \infty } 0</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> at a polynomial rate), we prove that the empirical measure of eigenvalues of <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T Subscript upper N Baseline plus upper E Subscript upper N">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>T</mml:mi>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">T_N+E_N</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> converges to the law of <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold-italic a left-parenthesis upper U right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="bold-italic">a</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>U</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbfit {a}(U)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper U">
<mml:semantics>
<mml:mi>U</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">U</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> is uniformly distributed on the unit circle in the complex plane. This extends results from [Forum Math. Sigma 7 (2019)] to the non-triangular setup and non-complex Gaussian noise, and confirms predictions obtained in [Linear Algebra Appl. 162/164 (1992), pp. 153–185] using the notion of pseudospectrum.</p>
